Exemple diagnostic 2 : chercher l’intérieur

Pour

$$f(x)=\frac{4x+2}{\sqrt{2x^2+2x+5}},$$

on repère

$$u(x)=2x^2+2x+5 \qquad\text{et}\qquad u'(x)=4x+2.$$

La forme est exactement $\dfrac{u'}{\sqrt u}$, donc

$$\boxed{F(x)=2\sqrt{2x^2+2x+5}+C}.$$

Le discriminant de $u$ est négatif et son coefficient dominant positif, donc $u(x)>0$ sur $\mathbb R$.