Pourquoi $sin(3x+1)$ change la formule

On sait que

$$(-\cos x)'=\sin x.$$

Mais si l’intérieur devient $3x+1$ :

$$\bigl(-\cos(3x+1)\bigr)'=3\sin(3x+1).$$

Un facteur $3$ apparaît à cause de la dérivée de l’intérieur.

Pour obtenir seulement $\sin(3x+1)$, il faut compenser :

$$\sin(3x+1)\longmapsto-\frac13\cos(3x+1).$$

Idée. Quand l’intérieur est $ax+b$, la primitive reçoit un facteur $\dfrac1a$.